分析:①易知BC1∥平面AD1C,所以BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等,底不變,所以體積不變;
②由給出的圖形是正方體,易證A1D⊥平面ABC1D1,而AP?面ABC1D1,∴P在直線BC1上運動時,直線AP⊥A1D不變;
③正方體中,體對角線DB1⊥面ACD1,則DB1不會垂直于面ABC1D1,P在直線BC1上運動時,AP與DB1不垂直;
④M在平面A1B1C1D1內(nèi),且到點D和C1距離相等,則點M的軌跡是DC1的垂直平分線與面A1B1C1D1的交點,所以為線段A1D1所在直線.
解答:解:①∵BC1∥平面AD1,∴BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等,所以體積不變,①正確;
②∵ABCD-A1B1C1D1為正方體,∴A1D⊥AD1,又A1D⊥AB,AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABC1D1,P在直線BC1上運動時,始終有AP?平面ABC1D1,∴P在直線BC1上運動時,直線AP⊥A1D不變,②正確;
③∵體對角線DB1⊥面ACD1,則DB1不會垂直于面ABC1D1,P在直線BC1上運動時,AP與DB1不垂直,③不正確;
④∵M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點,∴M點的軌跡是DC1的垂直平分線繞DC1的中點旋轉(zhuǎn)時與面A1B1C1D1的交點,得到的軌跡是線段A1D1所在直線,所以④正確.
故答案為:①②④
點評:本題主要考查三棱錐體積的轉(zhuǎn)化,線面垂直,以及點的軌跡問題,考查全面,靈活,是中檔題.