Question

在平面直角坐標系xOy中，若直線y=kx+1與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個公共點，則實數k的取值范圍是

{-

1

8

，0，

1

8

}

．

Answer 1

分析：令t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，通過分類討論，去掉絕對值符號，得到分段函數表達式，作出其圖象即可得到答案．

解答：解：t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

①若x＜-1，t＜0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（

1

x

-x）=-

2

x

；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（x-

1

x

）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，則y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（

1

x

-x）=2x；
④若x＞1即 t＞0，則曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（x-

1

x

）=

2

x

．
∴y=

- 2 x (x＜-1) -2x(-1＜x＜0) 2x(0＜x＜1) 2 x (x＞1)

，作圖如右：

由于直線y=kx+1經過定點A（0，1），當過A點的直線m與曲線y=-

2

x

相切時，直線m與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個公共點，
設切點坐標為：（x₀，y₀），則k=（-

2

x

）′|x=x0=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x0

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

2

x02

=

1

8

；
同理，可得當直線n與曲線y=

2

x

相切時，直線n與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個公共點，可求得直線n的斜率為k′=-

1

8

；
當過A點的直線l∥x軸，即其斜率為0時，直線l與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個公共點；
綜上所述，實數k的取值范圍是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案為：{

1

8

，0，-

1

8

}．

點評：本題考查帶絕對值的函數，關鍵在于去絕對值符號，難點在于分類討論去絕對值符號，考查作圖能力，屬于難題．