Question

已知函數(shù)（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x₁、x₂，總有不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凸函數(shù)”．試證當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）為“凸函數(shù)”．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．
（2）這是一道研究“凸函數(shù)”問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是證明出，這需要充分利用不等式的性質(zhì)以及基本不等式進(jìn)行放縮與轉(zhuǎn)化．
解答：解：（Ⅰ）由，得．（2分）
由函數(shù)f（x）為[1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=，上述問(wèn)題等價(jià)于a≥g（x）_max．
而g（x）=為在[1，+∞）上的減函數(shù)，則．
于是為所求．（6分）
（Ⅱ）證明：由，
得
=．．
而．①
∵a≥0，∴．（9分）
又（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴．②（11分）
∵，∴．
∴．③（13分）
由①、②、③，得．
即，從而由凸函數(shù)的定義可知函數(shù)f（x）為凸函數(shù)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，本題包含了對(duì)新定義的概念的理解，是一道創(chuàng)新題．