Question

三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA=，PC與側(cè)面APB所成角的余弦值為，PB與底面ABC成60°角，求二面角B-PC-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA⊥面ABC，知PA⊥BC，由AB⊥BC，且PA∩AB=A，知BC⊥面PAB，由此能夠證明面PAB⊥面PBC．
（2）法一：過A作AE⊥PB于E，過E作EF⊥PC于F，連接AF，得到∠EFA為B-PC-A的二面角的平面角．由此能求出二面角B-PC-A的大小．
法二：由AB=，BC=1，以BA為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PC-A的大�。�
解答：（1）證明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
而BC?面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（5分）
（2）解法一：過A作AE⊥PB于E，過E作EF⊥PC于F，連接AF，如圖所示
則∠EFA為B-PC-A的二面角的平面角  …（8分）
由PA=，在Rt△PBC中，cos∠COB=．
Rt△PAB中，∠PBA=60°．
∴AB=，PB=2，PC=3
∴AE==
同理：AF=    …（10分）
∴sin∠EFA=，…（11分）
∴∠EFA=60．…（12分）
解法二：向量法：由題可知：AB=，BC=1，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系…（7分）
B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，，0），P（0，，），
假設(shè)平面BPC的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
∴
取z₁=可得平面BPC的法向量為=（0，-3，）…（9分）
同理PCA的法向量為=（2，-，0）…（11分）
∴cos＜，＞==，∴所求的角為60°．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．