Question

13．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖，假設(shè)待測(cè)量的樹木AE的高度H（m），垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三點(diǎn)共線），試根據(jù)上述測(cè)量方案，回答如下問(wèn)題：
（1）若測(cè)得α=60°、β=30°，試求H的值；
（2）經(jīng)過(guò)分析若干次測(cè)得的數(shù)據(jù)后，大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離d（單位：m），使α與β之差較大時(shí)，可以提高測(cè)量精確度．
若樹木的實(shí)際高度為8m，試問(wèn)d為多少時(shí)，α-β最大？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，再根據(jù)AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分別表示出tanα和tanβ，再根據(jù)兩角和公式，求得tan（α-β），整理成基本不等式的形式，再根據(jù)基本不等式可求得tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．

解答 解：（1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，
在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，
由AD-AB=DB，故得$\frac{H}{tanβ}-\frac{H}{tanα}=\frac{h}{tanβ}$，
得：H=$\frac{htanα}{tanα-tanβ}$=$\frac{4×\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=6．
因此，算出的樹木的高度H是6m．
（2）由題設(shè)知d=AB，得tanα=$\frac{H}hp7lsob$，tanβ=$\frac{H}{AD}$=$\frac{h}{BD}$=$\frac{H-h}yfjjzne$，
tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{H}xp2mk7v-\frac{H-h}w76buf6}{1+\frac{H}2omfjzn•\frac{H-h}wdm9dgc}$=$\frac{hd}{8qhzdgj^{2}+H（H-h）}$=$\frac{h}{d+\frac{H（H-h）}mjgutof}$
$≤\frac{h}{2\sqrt{d•\frac{H（H-h）}ae7hp4j}}$=$\frac{h}{2\sqrt{H（H-h）}}$，（當(dāng)且僅當(dāng)d=$\sqrt{H（H-h）}$）時(shí)，取等號(hào)）
故當(dāng)H=8時(shí)，d=4$\sqrt{2}$，tan（α-β）最大．
因?yàn)?＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，則0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，所以當(dāng)d=4$\sqrt{2}$時(shí)，α-β最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí)，可考慮用不等式的性質(zhì)來(lái)解決．