Question

13．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥BD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，AC與BD交于點O，M為OC的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠PAC=90°，二面角O-PM-D的正切值為$2\sqrt{6}$，求a：b的值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面ABCD．
（2）以A為坐標原點，AD，AP所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，利用利用向量法能求出a：b的值．

解答 證明：（1）因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又PA⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥面PAC，
又因為 PD?面ABCD，
所以 平面PAC⊥平面ABCD．…（5分）
解：（2）由∠PAC=90°可知PA⊥AC，
 又由（1）可知平面PAC⊥平面ABCD
平面PAC∩平面ABCD=AC，
所以  PA⊥平面ABCD，
 故如圖，
以A為坐標原點，AD，AP所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，b），D（0，a，0），M（$\frac{3\sqrt{3}}{8}a$，$\frac{3}{8}a$，0），O（$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{1}{4}a$，0）
從而$\overrightarrow{PD}$=（0，a，-b），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a，$\frac{3}{8}a$，-b），
$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{3}{4}a$，0），
因為BD⊥面PAC，所以平面PMO的一個法向量為$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{3}{4}a$，0），
設平面PMD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{PD}⊥\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PM}⊥\overrightarrow{n}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}=ax-by=0}\\{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{n}=\frac{3\sqrt{3}}{8}ax+\frac{3}{8}ay-bz=0}\end{array}\right.$，
令y=b，得x=$\frac{5}{3\sqrt{3}}b$，z=a，即$\overrightarrow{n}=（\frac{5}{3\sqrt{3}}b，ba）$，
設$\overrightarrow{OD}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為θ，則二面角O-PM-D的大小與θ相等，
由$tanθ=2\sqrt{6}$，得$cosθ=\frac{1}{5}$$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{{-\frac{5}{12}ab+\frac{3}{4}ab}}{{\frac{a}{4}\sqrt{12}\sqrt{\frac{52}{27}{b^2}+{a^2}}}}=\frac{1}{5}$
化簡得 4b=3a，即a：b=4：3…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查兩線段的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．