Question

已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，且滿足||||＋·＝0.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)設過點N的直線l的斜率為k，且與曲線C相交于點S、T，若S、T兩點只在第二象限內運動，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點，求Q點橫坐標的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

(1) y²＝－8x

(2) (－∞，－6)

【解析】(1)設點P(x，y)，根據題意則有：

＝(4,0)，||＝4，||＝，＝(x－2，y)，

代入||||＋·＝0，得：4＋4(x－2)＝0.

整理得點P的軌跡C的方程：y²＝－8x.

 (2)設S(x1，y1)，T(x2，y2)，

由題意得：ST的方程為y＝k(x－2)(顯然k≠0)

與y2＝－8x聯立消元得：ky2＋8y＋16k＝0，

則有：y1＋y2＝－，y1y2＝16.

因為直線交軌跡C于兩點，

則Δ＝b2－4ac＝64－64k2＞0，

再由y1＞0，y2＞0，則－＞0，故－1＜k＜0.

可求得線段ST中點B的坐標為(－＋2，－)，

所以線段ST的垂直平分線方程為

y＋＝－(x＋－2)．令y＝0得點Q橫坐標為xQ＝－2－，

xQ＝－2－＜－6.，所以Q點橫坐標的取值范圍為(－∞，－6)．