Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24）
（1）求a、b的值
（2）若函數(shù)g（x）=

1+ax-m•bx

在x∈（-∞，1]時(shí)有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，解此方程組，
即可求得a，b，的值，從而求得f（x）．
（2）由題意可得1+2^x-m•3^x≥0 在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，即當(dāng)x≤1時(shí)，m≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x 恒成立．求得 (

1

3

)x+(

2

3

)x 的最小值，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，得

6=ab 24=b•a3

．
結(jié)合a＞0且a≠1，解得：

a=2 b=3

，∴f（x）=3•2^x．
（2）若函數(shù)g（x）=

1+ax-m•bx

=

1+2x-m•3x

 在x∈（-∞，1]時(shí)有意義，
則1+2^x-m•3^x≥0 在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，即當(dāng)x≤1時(shí)，m≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x 恒成立．
由于  (

1

3

)x+(

2

3

)x 在（-∞，1]上是減函數(shù)，故 (

1

3

)x+(

2

3

)x 的最小值為

1

3

+

2

3

=1，
故 m≤1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，和利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．