定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對于函數(shù)f(x)=lnx+
12
x2在區(qū)間（0，+∞）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最大值為
 
．
分析：由所給的定義，將：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立變?yōu)?span id="9ygqzbd" class="MathJye">
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k，此意義為k小于等于函數(shù)的導數(shù)的絕對值的最小值．由此關系求k
解答：解：由題意：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立變?yōu)?span id="9pzqotc" class="MathJye">
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k，
∵函數(shù)f(x)=lnx+
1
2
x2在區(qū)間（0，+∞）滿足利普希茨條件
∴f′(x)=
1
x
+x
又x∈（0，+∞）
故f′(x)=
1
x
+x≥2在區(qū)間（0，+∞）恒成立
故常數(shù)k的最大值為2
故答案為2
點評：本題考查函數(shù)的最值的應用，求解本題的關鍵是正確理解定義且能對
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k進行轉化，轉變?yōu)榍髮?shù)的最小值來求參數(shù)的取值范圍，本題易因為對導數(shù)的意義與本題中所給的定義不理解而導致錯誤，解題時要注意積累這方面的轉化經(jīng)驗．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對于函數(shù)f（x）=sinx滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足利普希茨條件．對于函數(shù)f（x）=
x
（x≥1）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值應是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．
（1）試舉出一個滿足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗證；
（2）若函數(shù)f(x)=
x+1
在[1，+∞)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；
（3）現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，請找出所有的一次函數(shù)g（x），使得下列條件同時成立：
①函數(shù)g（x）滿足利普希茨（Lipschitz）條件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足類利普希茨條件．對于函數(shù)f(x)=
x
(x≥1)滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值應是（　�。�

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