Question

設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=2求函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線的方程；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為3，求a的值及f（x）的極小值．

Answer 1

【答案】分析：先由求導(dǎo)公式和法則對函數(shù)求導(dǎo)，整理可得f′（x）=
（1）把a=2代入，求得切線斜率及切點的坐標，代入點斜式化簡得切線方程；
（2）令f′①（x）=0可得臨界點，結(jié)合2-a 與0的大小，分三種情況的討論研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的極大值和極小值，結(jié)合條件求a的值，再求出函數(shù)的極小值．
解答：解：由題意得，
=，
（1）當a=2時，，則，
且，
在x=-1處的切線的方程為：
y-e=-e（x+1），即ex+y=0．
（2）令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
①當a=2時，≤0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)，f（x）無極值，不合題意；               
②當0＞2-a，即a＞2時，x、f'（x）和f（x）的取值變化情況如下：

∴f（x）的極大值為f（0）=a=3，
f（x）的極小值為f（2-a）=f（-1）=，
③當0＜2-a，即a＜2時，x、f'（x）和f（x）的取值變化情況如下：

∴f（x）的極大值為f（2-a）=[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=（4-a）e^a-2，
令h（a）=（4-a）e^a-2，
則h′（a）=（4-a）′e^a-2+（4-a）（e^a-2）′=（3-a）e^a-2＞0，
∴h（a）在（-∞，2）上遞增，
∴h（a）＜h（2）=2＜3，不符合題意，
綜上，a=3，f（x）的極小值為f（-1）=e．
點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程，解題中滲透了分類討論、方程與函數(shù)的思想及轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性較強的試題．