Question

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S₁₀：S₅=1：2，又二次函數(shù)y=

S15

S10

x2+

13

4

x+5的導(dǎo)函數(shù)上有一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，n≥1，n∈N，且點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列{x_n}，且x₃=-

9

2

，x₅=-

13

2

．
（1）求二次函數(shù)解析式及點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線Cn的頂點(diǎn)為Pn，且過點(diǎn)Dn（0，n2+1），記與拋物線C_n相切于點(diǎn)D_n的直線的斜率為k_n，求證：

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

．
（3）設(shè)S={x|x=2x_n，n∈N^*}，T={y|y=4y_n，n∈N^*}，等差數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n，∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數(shù)，-265＜a₁₀＜-125，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,集合

分析：（1）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式求得q⁵=-

1

2

，再代入二次函數(shù)式，化簡可得解析式，求出y的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)，即可得到x_n，進(jìn)而得到有y_n；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求得拋物線C_n的解析式，再求導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，再由裂項(xiàng)相消求和，即可得證；
（3）求出集合S，T，求得交集，結(jié)合條件，求得數(shù)列的首項(xiàng)，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到．

解答： （1）解：等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₁₀：S₅=1：2，
顯然公比不為1，則

a1(1-q10)

1-q

：

a1(1-q5)

1-q

=1：2，
化簡得1+q⁵=

1

2

，即q⁵=-

1

2

，則

S15

S10

=

1-q15

1-q10

=

1+ 1 8

1- 1 4

=

3

2

，
即有二次函數(shù)y=

3

2

x²+

13

4

x+5，y′=3x+

13

4

，
等差數(shù)列{x_n}，且x₃=-

9

2

，x₅=-

13

2

，則公差d=

x5-x3

5-3

=-1，
則x_n=-

9

2

-（n-3）=-n-

3

2

，
即有y_n=3（-n-

3

2

）+

13

4

=-3n-

5

4

，
則二次函數(shù)解析式y(tǒng)=

3

2

x²+

13

4

x+5，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（-n-

3

2

，-3n-

5

4

）；
（2）證明：設(shè)拋物線C_n：y-y_n=a（x-x_n）²，
由（1）可得y+3n+

5

4

=a（x+n+

3

2

）²，
令x=0，則y=a（n+

3

2

）²-3n-

5

4

=n²+1，
解得a=1，即有y=（x+n+

3

2

）²-（3n+

5

4

），
y′=2（x+n+

3

2

），即有k_n=2n+3，
由

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
則有

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

2

×（

1

5

-

1

2n+3

）＜

1

10

；
（3）解：S={x|x=2x_n=-2n-3，n∈N^*}，T={y|y=4y_n=-12n-5，n∈N^*}，
可得S∩T=T，T中最大的為-17，
等差數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數(shù)，
則公差d為-12的正整數(shù)倍，且a₁=-17，
由-265＜a₁₀＜-125，可得-265＜-17+9d＜-125，
解得-

248

9

＜d＜-12，可得d=-24，
即有a_n=-17+（n-1）•（-24）=-24n+7．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．