Question

30、在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：A₁C⊥平面BC₁D．

Answer 1

分析：要證明A₁C⊥平面BC₁D，只需證明直線A₁C垂直于平面BC₁D內(nèi)的兩條相交直線即可，故只需證明A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁即可．

解答：證明：連接AC交BD于一點O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方體中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，連接B₁C交BC₁于一點O，
同理可證A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一點B，
所以A₁C⊥平面BC₁D

點評：本題考查直線與平面位置關(guān)系中的垂直問題，證明思路是：要證線面垂直，需證線線垂直，在證明線線垂直過程中，往往需要通過證明線面垂直來實現(xiàn)，要注意線面垂直、線線垂直間的相互轉(zhuǎn)化．