Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2處取得極小值-

4

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

對(duì)x∈[-4，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，就是x=2時(shí)導(dǎo)數(shù)為0，求出a，利用極小值為-

4

3

，求出a，b，可得f（x）的解析式，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

對(duì)x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0得a=-4
由f(2)=-

4

3

得b=4則f(x)=

1

3

x3-4x+4，令f′（x）=x²-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由f(-4)=-

4

3

，f(-2)=

28

3

，f(2)=-

4

3

，f(3)=1
則

28

3

≤m2+m+

10

3

f(x)的最大值為

28

3

，
要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

對(duì)x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，
即

28

3

≤m2+m+

10

3

得m≥3或m≤-2
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題．