Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cos2x），\overrightarrow b=（2\sqrt{3}cosx，-1）$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求tan2x的值；
（Ⅱ）求$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的垂直，得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，求出tan2x的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的表達式，化簡，從而求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2\sqrt{3}sinxcosx-cos2x=\sqrt{3}sin2x-cos2x=0$，
所以$\sqrt{3}sin2x=cos2x$，
即$tan2x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ） $f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2\sqrt{3}sinxcosx-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
所以$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
即$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．

點評 本題考查了向量的垂直問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．