Question

設直線l的方程為y=kx-1，等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原點，右焦點坐標為（ ，0）．
（1）求雙曲線方程；
（2）設直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B，記AB中點為M，求k的取值范圍，并用k表示M點的坐標．
（3）設點Q（-1，0），求直線QM在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由右焦點坐標為（ ，0），可求出c的值，又因為等軸雙曲線中a，b相等，利用雙曲線中a，b，c的關系，就可求出a值，的到雙曲線方程．
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，因為直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B，所以方程有兩不同正根，△＞0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，據此就可求出k的范圍．并用含k的式子表示M點坐標．
（3）利用兩點式求出直線QM的方程，求出縱截距，用含k的式子表示，根據（2）中所求k的范圍，即可得到縱截距的范圍．
解答：解：（1）由條件，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以雙曲線方程為x²-y²=1．                    
（2）由得（1-k²）x²+2kx-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此
解得，因此k∈（1，）
并且，
所以．                            
（3）直線MQ的方程為，
令x=0，得，
∵∴，∴
點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線相交，交點個數的判斷．