Question

3．在正四面體A-BCD中，有下列四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①每組對(duì)棱異面垂直；
②連接每組對(duì)棱的中點(diǎn)，則這三線交于一點(diǎn)；
③在棱CD上至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使∠AEB=$\frac{π}{2}$；
④正四面體的外接球的半徑是其棱長(zhǎng)的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用正四面體的特征，作圖即可得到答案

解答 解：①正四面體A-BCD的高線中心正好在底面正三角形的三線合一“三等分”上，形成直角三角形，根據(jù)“三垂線定理”，每組對(duì)棱異面垂直；正確
②底面是正三角形，連接每組對(duì)棱的中點(diǎn)，剛好三線交于一點(diǎn)；正確
③只有到高線投影落在CD上時(shí)，才存在一個(gè)點(diǎn)E，使得∠AEB=$\frac{π}{2}$；而正四面體A-BCD的高線中心正好在底面正三角形的三線合一上，不可能在CD，不成立
④正四面體的外接球的半徑是其棱長(zhǎng)的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．正四面體球心在高線上，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等構(gòu)造勾股定理即可找到關(guān)系．正確
所以：①②④正確
故答案為：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體特征和外接球的證明，由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的．難度不大，屬于基礎(chǔ)題．