Question

已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（I）求橢圓E的方程；
（II）直線y=kx-2與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，在OA、OB上分別存在異于O點(diǎn)的點(diǎn)M、N，使得O在以MN為直徑的圓外，求直線斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓E的方程為．離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，得（4k²+3）x²-16kx+4=0，由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，解得，由原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，知∠MON為銳角，由此能求出直線斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為．
由，
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得c²=1，
∴橢圓的方程為．
（II）聯(lián)立方程組，消去y整理得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-16k）²-16（4k²+3）＞0，解得，①
∵原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，
∴∠MON為銳角，即．
而M、N分別在OA、OB上且異于O點(diǎn)，即，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4═
解得，②
綜合①②可知：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．