Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足以下條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)值域?yàn)閇n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè) ，利用換元法，可將已知函數(shù)化為一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，即可得到h（a）的解析式．
（Ⅱ）由（I）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)值域?yàn)閇n²，m²]構(gòu)造關(guān)于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無(wú)解，則不存在滿足條件的m，n的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè) ，∵x∈[-1，1]，∴------------------------（1分）
則原函數(shù)可化為------------（2分）
討論 ①當(dāng)時(shí)，-------------（3分）
②當(dāng)時(shí)，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③當(dāng)a＞3時(shí)，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴--------------（6分）

（Ⅱ） 因?yàn)閔（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數(shù)，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h(yuǎn)（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇n²，m²]，
∴即：-----（9分）
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時(shí)有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故滿足條件的實(shí)數(shù)m，n不存在．-------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是利用換元法，將函數(shù)解析式化為二次函數(shù)，（II）的關(guān)鍵是判斷h（a）在（3，+∞）上為減函數(shù)進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于m，n的不等式組．