Question

已知兩個(gè)函數(shù)g(x)=(

1

a

-

1

4

)x(a≠0，a＞-1)，h(x)=(4a-1)

1

x

+2(x＞0)，函數(shù)g（x）與h（x）的和函數(shù)為f（x）；
（1）求函數(shù)f（x）；
（2）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的值域；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且m＞2+

7

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)g（x）與h（x）的和函數(shù)為f（x），分別代入g（x）與h（x）即可求得函數(shù)f（x）；
（2）將a=5代入f（x）可得f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，對(duì)其相應(yīng)的兩個(gè)系數(shù)分類討論，分別研究其單調(diào)性，進(jìn)而求其最小值列出不等式，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）與h（x）的和函數(shù)為f（x），
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2．
（2）∵a=5，
∴f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，
∴f（x）在[1，2]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=

419

20

，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=

57

5

，
∴當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的值域?yàn)?span id="x5tbdkd" class="MathJye">[

57

5

，

419

20

]．
（3）f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2，
①當(dāng)

1 a - 1 4 ＞0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

，即

1

4

＜a＜4時(shí)，
∵x＞0，
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2≥2

( 1 a - 1 4 )x•(4a-1) 1 x

+2=2

4-a 4a •(4a-1)

+2，當(dāng)且僅當(dāng)(

1

a

-

1

4

)x=(4a-1)

1

x

時(shí)取等號(hào)，
∵函數(shù)f（x）的最小值為m，
∴m=2

4-a 4a •(4a-1)

+2＞2+

7

，解得，

1

2

＜a＜2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1

2

＜a＜2；
②

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＜0 a≠0，a＞-1

時(shí)，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上只有最大值，沒(méi)有最小值，不符合題意；
③

1 a - 1 4 ≥0 4a-1≤0 a≠0，a＞-1

時(shí)，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值，不符合題意；
④

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

時(shí)，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，沒(méi)有最小值，不符合題意；
綜合①②③④，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：

1

2

＜a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域問(wèn)題，以及運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法討論函數(shù)的單調(diào)性，涉及了基本不等式的運(yùn)用，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“一正，二定，三相等”條件的判斷．屬于中檔題．