Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)lnx＜ax（0，+∞）上恒成立時(shí)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：(1+

1

n

)n＜e(n∈N+)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x的最大值為-1，從而可證．

解答：解：f′(x)=

1

x

-a…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0所以當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)…（4分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(0，

1

a

)上f′(x)=

1

x

-a＞0，f(x)在(

1

a

，+∞)上f′(x)=

1

x

-a＜0，
故f（x）在(0，

1

a

)上是增函數(shù)，f（x）在(

1

a

，+∞)上是減函數(shù)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上不恒成立；…（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=

1

a

處取得最大值為ln

1

a

-1，
因此ln

1

a

-1＜0，即a＞

1

e

時(shí)，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
即lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立．
所以當(dāng)lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立時(shí)，a的取值范圍為(

1

e

，+∞)…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x的最大值為-1
所以lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），令x=1+

1

n

＞1(n∈N+)，
則得ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即nln(1+

1

n

)＜1，…（12分）
從而得ln(1+

1

n

)n＜1=lne，由函數(shù)y=lnx的單調(diào)性得(1+

1

n

)n＜e(n∈N+)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問(wèn)題．