Question

在△ABC中，三邊a，c，b成等差，則sinA的范圍是

[

3

2

，1）

．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知2c=a+b，利用余弦定理表示出cosC，然后把b=

1

2

（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosC的最小值，根據(jù)C的范圍及余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)即可得到A的范圍，即可求

解答：解：由三邊成等差數(shù)列可知：c=

a+b

2

由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-( a+b 2 )2

2ab

=

3(a2+b2)-2ab

8ab

≥

6ab-2ab

8ab

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，此時(shí)A=B
又C∈（0，π），且余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，
所以C∈（0，

1

3

π]
所以，2A=A+B∈[

2π

3

，π)
所以A∈[

1

3

π，

1

2

π)，sinA∈[

3

2

，1）
故答案為：[

3

2

，1）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理化簡求值，掌握余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最大值，是一道綜合題．