Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，D、F分別為CC₁、A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求異面直線BD與EF所成的角；
（3）求點(diǎn)F到平面ABD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，我們根據(jù)勾股定理，可得B₁D⊥DB，再由直三棱柱的性質(zhì)可得BA⊥B₁D，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可得B₁D⊥面ABD；
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接GE、GF，則EG∥BD，我們可得∠GEF或其補(bǔ)角為BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出異面直線BD與EF所成的角；
（3）設(shè)F到面ABD的距離為d，過B作BH⊥AC于H，則BH⊥面ACC₁A₁，求出棱錐F-ABD的體積及底面面積即可求出點(diǎn)F到平面ABD的距離．
解答：證明：（1）由條件得
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
解：（2）取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接GE、GF，則EG∥BD，
∴∠GEF或其補(bǔ)角為BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，，∴
∴BD與EF所成角為（8分）
（3）設(shè)F到面ABD的距離為d，過B作BH⊥AC于H，則BH⊥面ACC₁A₁
∵V_F-ABD=V_B-DAF，∴
∴
∴（12分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點(diǎn)面之間的距離計(jì)算，（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知得到B₁D⊥DB，BA⊥B₁D，（2）的關(guān)鍵是找出異面直線夾角的平面角，（3）的關(guān)鍵是利用翻轉(zhuǎn)法求出棱錐F-ABD的體積．