Question

【題目】在如圖所示的四棱錐 中，四邊形ABCD為正方形， 平面PAB,且 分別為 的中點(diǎn)， .

證明：
（1） 平 ;
（2）若 ，求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 證明: 連結(jié)BD,分別的交 于點(diǎn) ，連結(jié)

為BD中點(diǎn)， E為PD中點(diǎn)， .又 為ED中點(diǎn)，

又 為OD的中點(diǎn)，

平面 平面 平面FMN.

（2）解: 平面 ,又 平面 .

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為x軸、y軸、z軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則 ,則

平面ABCD,

平面ABC的一個法向量 ,設(shè)平面AEC的法向量為 ,

則 ,即 ,

令x=1,則 ,

由圖可知，二面角 為飩角， 二面角 的余弦值

【解析】(1)結(jié)合題意作出輔助線，由題中的長度關(guān)系可得證BP∥FG,由線面平行的判定定理即可證出P B ∥ 平面FMN.(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ABCD和平面EAC的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．