Question

已知函數(shù)f（x）=2-，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n?N^*）．若，數(shù)列{b_n}滿足
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=（2b_n+6）•2^n-1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件，可得，由，兩者結(jié)合可得，，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據(jù)題中條件可求得，c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．
解答：證明：（1）由已知得：（n≥2，n?N^*）．                  …（2分）
∴，，，…（4分）
∴ （n≥2，n?N^*）．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．                                   …（6分）
解：（2）由（1）知，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為1，
則其通項(xiàng)公式，…（8分）
∴c_n=（2b_n+6）•2^n-1=（2n-1）•2^n-1                    …（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n═1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
兩式相減得：
T_n=-1-2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ=（2n-3）•2ⁿ+3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的確定與數(shù)列的求和，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的定義理解與應(yīng)用及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于難題．