Question

先后擲三顆骰子，擲第一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)記為a₁，擲第二顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)記為a₂，擲第三顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)記為a₃，則使函數(shù)f（x）=在R上存在反函數(shù)的概率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：在R上存在反函數(shù)的函數(shù)，必須是R上的單調(diào)函數(shù)，故導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒大于等于零或恒小于或等于零．求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)恒為正數(shù)或零，因此函數(shù)的圖象開口向上，與x軸至多一個(gè)公共點(diǎn)．運(yùn)用一元二次方程根的判別式小于或等于零，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，最后通過分類討論可得符合題意的骰子的擲法一共18種，利用隨機(jī)事件的概率公式，可得所求的概率．
解答：要使函數(shù)f（x）=在R上存在反函數(shù)，
f（x）必須是R上的單調(diào)函數(shù)，故導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒大于等于零或恒小于或等于零．
因?yàn)閒'（x）=是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a₂＞0是正整數(shù)
所以f'（x）在R上恒大于等于零．
∴△=
即?
∵
∴?
所以原函數(shù)在R上有反函數(shù)的概率，即為事件“”的概率，
擲三顆骰子，將符合題意的情況作如下分類：
①a₂=1，此時(shí)a₁=1，a₃=1一種情況；
②a₂=2，此時(shí)a₁=2，a₃=2或a₁=1，a₃=3或a₁=3，a₁=1三種情況；
③a₂=3，此時(shí)a₁=3，a₃=3或a₁=1，a₃=5或a₁=5，a₃=1
或a₁=2，a₃=4或a₁=4，a₃=2，共五種情況；
④a₂=4，此時(shí)a₁=4，a₃=4或a₁=2，a₃=6或a₁=6，a₃=2
或a₁=3，a₃=5或a₁=5，a₃=3，共五種情況；
⑤a₂=5，此時(shí)a₁=5，a₃=5或a₁=4，a₃=6或a₁=6，a₃=4三種情況；
⑥a₂=6，此時(shí)a₁=6，a₃=6一種情況
綜上所述，總共有18種符合題意的情況，
故求的概率為：
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的討論的問題，著重考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和等可能性事件的概率公式等知識(shí)點(diǎn)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．