Question

我校高2014級迎新晚會的舞臺天花板上有前、后兩排共4個(gè)燈架，每排2個(gè)，每個(gè)燈架上安裝了5盞射燈，每盞射燈發(fā)光的概率為

1

2

．若一個(gè)燈架上至少有3盞射燈正常發(fā)光，則這個(gè)燈架不需要維修，否則需要維修．
（Ⅰ）求恰有兩個(gè)燈架需要維修的概率；
（Ⅱ）若前排每個(gè)燈架的維修費(fèi)用為100元，后排每個(gè)燈架的維修費(fèi)用為200元，記ξ為維修燈架的總費(fèi)用，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）求出一個(gè)燈架需要維修的概率，即可求恰有兩個(gè)燈架需要維修的概率；
（Ⅱ）確定ξ的所有可能值為0，100，200，300，400，500，600，求出相應(yīng)的概率，即可求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）一個(gè)燈架需要維修的概率為

C

0 5

•(

1

2

)5+

C

1 5

•

1

2

•(

1

2

)4+

C

2 5

•(

1

2

)2•(

1

2

)3=

1

2

，
∴恰有兩個(gè)燈架需要維修的概率為P=

C

2 4

•(

1

2

)2•(

1

2

)2=

3

8

；
（Ⅱ）ξ=0，100，200，300，400，500，600，則
P（ξ=0）=（

1

2

）⁴=

1

16

，P（ξ=100）=

C

1 2

（

1

2

）（

1

2

）³=

1

8

，P（ξ=200）=

C

1 2

（

1

2

）⁴+

C

2 2

（

1

2

）⁴=

3

16

，
P（ξ=300）=）=

C

1 2

（

1

2

）²

C

1 2

（

1

2

）²=

1

4

，P（ξ=400）=

C

2 2

（

1

2

）⁴

C

2 2

（

1

2

）²

C

1 2

（

1

2

）²=

3

16

P（ξ=500）=

C

1 2

（

1

2

）²

C

2 2

（

1

2

）²=

1

8

，P（ξ=600）=（

1

2

）⁴=

1

16

，
隨機(jī)變量ξ的分布列

ξ	0	100	200	300	400	500	600
P	1 16	1 8	3 16	1 4	3 16	1 8	1 16

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

16

+100×

1

8

+200×

3

16

+300×

1

4

+400×

3

16

+500×

1

8

+600×

1

16

=300．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望，其中在求隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，對隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，要注意不重不漏，以便準(zhǔn)確的計(jì)算出ξ取得各值時(shí)的概率，這也是計(jì)算分布列及數(shù)學(xué)期望時(shí)最容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤．