Question

（1）已知函數(shù)f（x）=x³-x，其圖象記為曲線C，
（�。┣蠛瘮�(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ⅱ）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x₁，曲線C與其在點(diǎn)P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點(diǎn)P₂處的切線交于另一點(diǎn)P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂，則為定值；
（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），請(qǐng)給出類似于（1）（ⅱ）的正確命題，并予以證明。

Answer 1

解：（1）（�。┯蒮（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=， 當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＞0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0； 因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為。 （ⅱ）曲線C在點(diǎn)P1處的切線方程為y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1， 即y=（3x12-1）x-2x13， 由得x3-x=（3x12-1）x-2x13， 即（x-x1）2（x+2x1）=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1， 進(jìn)而有 ， 用x2代替x1，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程， 可得x3=-2x2和S2=； 又x2=-2x1≠0， 所以， 因此有。
（2）記函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象為曲線C′， 類似于（Ⅰ）（ⅱ）的正確命題為：若對(duì)于任意不等于的實(shí)數(shù)x1，曲線C′與其在點(diǎn)P1（x1，g（x1））處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2，g（x2）），曲線C′與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3，g（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別別為S1，S2，則為定值． 證明如下：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小， 故可將曲線y=g（x）的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)， 因而不妨設(shè)g（x）=ax3+hx，且x1≠0， 類似（1）（ⅱ）的計(jì)算可得， 故。