Question

如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m²，問當(dāng)a，b各為多少時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計)？

Answer 1

答案：
解析：

答：當(dāng)a＝6 m，b＝3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。� 　　解：方法一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y， 　　由題意y＝，其中k為比例系數(shù)(k＞0)， 　　又根據(jù)題設(shè)2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)． 　　∴y＝＝． 　　令t＝a＋2，則a＝t＋2． 　　從而＝34－(t＋)． 　　∴y＝≥ 　　當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即a＋2＝時取等號，此時a＝6． 　　由a＝6可得b＝3． 　　綜上所述，當(dāng)a＝6m，b＝3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小． 　　方法二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y＝，其中k為比例系數(shù)(k＞0)．要求y的最小值，必須求解ab的最大值． 　　依題意設(shè)4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取等號)， 　　∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18． 　　由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3． 　　思路分析：題中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解，設(shè)為y．由題意y與ab成反比，又設(shè)比例系數(shù)為k，則y＝．又由于箱體材料多少的限制，a，b之間應(yīng)有一定的關(guān)系式，即2×(2b)＋2ab＋2a＝60，因此該題的數(shù)學(xué)模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求：a，b為何值時，y＝最�。�