Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

n

i=1

ai(ai-1)＜3，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）通過移項整理得到a_n+1=

2an

an+1

，求得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)說明

1

a1

-1=-

1

2

，即可證明數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）法一：利用a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，…，n）通過基本不等式，裂項法求出

n

i=1

ai(ai-1)，再利用放縮法得到結果．
法二：和法一，類似，只是裂項法前，用的是放縮法，然后裂項法，求和放縮法推出證明的結果．

解答：解：（1）注意到a_n+1≠0，所以原式整理得：a_n+1=

2an

an+1

由a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

得對n∈N^*，a_n≠0．
從而由a_n+1=

2an

an+1

，兩邊取倒數(shù)得：

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)∵a1=2，

1

a1

-1=-

1

2

∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列∴

1

an-1

=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n∴

1

an

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

．∴a_n=

2n

2n-1

故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=

2n

2n-1

…（4分）
（2）證法1：∵a_n=

2n

2n-1

，∴a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，…，n）當i≥2時，∵a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1) (2i-2)

=

2i

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1

-

1

2i-1

…（8分）∴

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)+…+an(an-1)=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

+
…+

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3…（12分）
證法2：∵a_n=

2n

2n-1

，∴a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，…，n）當i≥2時，∵a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1-1)(2i+1-1)

=

2

3

(

1

2i-1-1

-

1

2i+1-1

)…（8分）∴

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)+…+an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

+…+

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+

2

3

(

1

22-1-1

-

1

23+1-1

)
+

2

3

(

1

23-1-1

-

1

23+1-1

)+…+

2

3

(

1

2n-2-1

-

1

2n+1-1

)=2+

2

3

(1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)＜2+

8

9

＜3…（12分）

點評：本題是難題，考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)列的證明，放縮法與裂項法的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力以及轉化思想的應用．