Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且bcosC=a-

1

2

c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由三角形的內(nèi)角和為π得到A=π-（B+C），利用誘導(dǎo)公式得到sinA與sin（B+C）相等，再由正弦定理化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式，把已知的等式變形后代入這個(gè)關(guān)系式中，即可求出cosB的值，然后由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由b的值，以及（1）求出的B的度數(shù)求出sinB的值，利用正弦定理表示出a與c，進(jìn)而表示出三角形周長(zhǎng)l的式子，利用誘導(dǎo)公式把sinC化為sin（A+B），再把B的度數(shù)代入，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并后將

1

3

利用乘法分配律乘進(jìn)括號(hào)中，變形后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，進(jìn)而得到正弦函數(shù)的值域，即可得到三角形周長(zhǎng)l的范圍．

解答：解：（1）在△ABC中，有sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
由正弦定理得：a=bcosC+ccosB，
又bcosC=a-

1

2

c，代入得：ccosB-

1

2

c=0，即cosB=

1

2

，
又B為△ABC的內(nèi)角，∴B=

π

3

；
（2）由b=1，sinB=

3

2

，
根據(jù)正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

2

3

sinA，c=

bsinC

sinB

=

2

3

sinC，
∴l(xiāng)=a+b+c=1+

2

3

（sinA+sinC）=1+

2

3

[sinA+sin（A+B）]
=1+

2

3

[sinA+sin（A+

π

3

）]
=1+

2

3

（sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA）
=1+2（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=1+2sin（A+

π

6

）（12分）
∵B=

π

3

，∴A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin(A+

π

6

)∈(

1

2

，1]
于是l=1+2sin（A+

π

6

）∈（2，3]，
故△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍為（2，3]．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了正弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變形．熟練掌握定理、法則及公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)學(xué)生做題時(shí)注意角度的范圍，掌握正弦函數(shù)的值域的求法，牢記特殊角的三角函數(shù)值．