Question

已知函數(shù)f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，作出圖象從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，a表示直線y=ax的斜率，
作函數(shù)f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

的圖象如右圖，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=

1

x

，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切線方程為y-y₀=

1

x0

（x-x₀），而切線過原點(diǎn)，
∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直線l₁的斜率為

1

e

，
又∵直線l₂與y=

1

6

x+1平行，
∴直線l₂的斜率為

1

6

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

6

，

1

e

），
故答案為：[

1

6

，

1

e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的圖象的作法，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題．