Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

設(shè)函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為2.（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ） 時(shí)， ，利用 判定 的增減性并求出的極小值；（Ⅱ）由函數(shù) ，令 ，求出 ；設(shè) ，求出 的值域，討論的取值，對(duì)應(yīng) 的零點(diǎn)情況；（Ⅲ）由 恒成立，等價(jià)于 恒成立；即 在 上單調(diào)遞減， ，求出的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，易得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

.∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以的極小值為2.

（Ⅱ）函數(shù)，令，得.

設(shè)，則.

∴當(dāng)時(shí)，，在（0,1）上單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

所以的最大值為，又，可知：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

（Ⅲ）對(duì)任意，恒成立，等價(jià)于恒成立. .

設(shè)，∴等價(jià)于在上單調(diào)遞減.

∴在上恒成立，

∴恒成立，

∴（對(duì)，僅在時(shí)成立）.

∴的取值范圍是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題（Ⅲ）是利用方法 ① 求得 的范圍.