Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），點(diǎn)P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，若將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到

2

倍后得到點(diǎn)Q（x，

2

y）滿足

AQ

•

BQ

=1．
（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)B作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且滿足

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試問四點(diǎn)M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用

AQ

•

BQ

=1，即可得到動點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）假設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識，確定M，N，G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）依據(jù)題意，有

AQ

=(x+1，

2

y)，

BQ

=(x-1，

2

y)
∵

AQ

•

BQ

=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴動點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程是

x2

2

+y2=1．
（2）因直線l過點(diǎn)B，且斜率為k=-

2

2

，故有l(wèi)：y=-

2

2

(x-1)．
聯(lián)立方程組

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，得2x²-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=

2

2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，點(diǎn)G與點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)對稱，
于是，可得點(diǎn)H（-1，-

2

2

）、G（1，

2

2

）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有l(wèi)₁：y-

2

4

=

2

（x-

1

2

），l₂：y=-

2

x．
聯(lián)立方程組，解得l₁和l₂的交點(diǎn)為O₁（

1

8

，-

2

8

）．
因此，可算得|O₁H|=

( 9 8 )2+( 3 2 8 )2

=

3 11

8

，|O₁M|=

(x1- 1 8 )2+(y1+ 2 8 )2

=

3 11

8

．
所以，四點(diǎn)M、G、N、H共圓，圓心坐標(biāo)為O₁（

1

8

，-

2

8

），半徑為

3 11

8

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查四點(diǎn)共圓，正確運(yùn)用向量知識，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵．