Question

10．已知f（x）是定義在正整數(shù)集N^*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時，f（x+1）-f（x）=1，當(dāng)x為偶數(shù)時，f（x+1）-f（x）=3且滿足f（1）+f（2）=5．
（1）求證：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差數(shù)列；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用條件建立方程組關(guān)系，利用f（1），f（3），f（5）的規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷f（2n+1）-f（2n-1）是個常數(shù)即可．
（2）利用當(dāng)x為奇數(shù)時，f（x+1）-f（x）=1，當(dāng)x為偶數(shù)時f（x+1）-f（x）=3去，求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}f（1）+f（2）=5\\ f（2）-f（1）=1\end{array}\right.$，解得f（1）=2，f（2）=3．
所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，
所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差數(shù)列，公差為4．
即：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)x為奇數(shù)時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=$\frac{（x-1）•4}{2}$+2=2x，
當(dāng)x為偶數(shù)時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=$\frac{1}{2}$•1+$\frac{x-2}{2}$•3+2=2x-1
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x為奇數(shù)\\ 2x-1，x為偶數(shù)\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及等差數(shù)列的定義和判斷，綜合性較強(qiáng)．