Question

已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f'(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由.

 

Answer 1

見解析

【解析】+++…+<1.

理由如下:

∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),

∴an+1≥(an+1)2-1.

令g(x)=(x+1)2-1,則函數(shù)g(x)=x2+2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,

由此猜想:an≥2n-1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想:

①當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,結(jié)論成立;

②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即ak≥2k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí),由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.

由①②知,對任意n∈N*,都有an≥2n-1,

即1+an≥2n,∴≤,

∴+++…+≤+++…+==1-()n<1.

【方法技巧】“歸納——猜想——證明”類問題的一般解題思路

通過觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用,其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式.