Question

定義：若函數(shù)f（x）對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x₀，有f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。
已知函數(shù)f（x）=ax²+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1) 當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
(2) 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；
(3) 在(2)的條件下，若y=f（x）圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且A、 B的中點(diǎn)C在函數(shù)g（x）=-x+的圖象上，求b的最小值。
（參考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)為）

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-x-3，
由x²-x-3=0，
解得x=3或x=-1，
所以所求的不動(dòng)點(diǎn)為-1或3。
（2）令ax²+（b+1）x+b+1=x，
則ax²+bx+b-1=0，①
由題意，方程①恒由兩個(gè)不等實(shí)根，
所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0對(duì)任意的b∈R恒成立，
則△′=16a²-16a<0，故0<a<1。
（3）依題意，設(shè)，
則AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
又AB的中點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
又x₁，x₂是方程①的兩個(gè)根，
∴，
∴，
，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，b_min=-1。