Question

已知數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若t=1，令cn=

2 n

an•an+1

，記Tn=c1+c2+c3+…+cn．
證明：
（i）cn=

1

an

-

1

an+1

；
（ii）T_n＜1．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），a₁+1=t+1，結(jié)合等比數(shù)列的定義，考慮t的取值，即可判斷
（II）當(dāng)t=1時，由（I）知an+1=2•2n-1，則可求an=2n-1，代入求出c_n，然后利用裂項即可求和，可證

解答：解（I）由題意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∵a₁+1=t+1
∴當(dāng)t=-1時，數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列
當(dāng)t≠-1時，數(shù)列{a_n+1}是以t+1為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（II）當(dāng)t=1時，由（I）知an+1=2•2n-1
∴an=2n-1
∴Cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+′1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=

1

an

-

1

an+1

∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

＜1

點評：本題主要考查了 等比數(shù)列的 定義及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用．