Question

6．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{a_n}滿足，2S_n=a_n（a_n+1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{$\frac{1}{{{{（{a_n}+2）}^2}}}$}的前n項和為A_n，求證：對任意正整數n，都有A_n＜$\frac{1}{2}$成立；
（3）數列{b_n}滿足b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n，它的前n項和為T_n，若存在正整數n，使得不等式（-2）^n-1λ＜T_n+$\frac{n}{2^n}$-2^n-1成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式即可求出數列{a_n}的通項公式，
（2）$\frac{1}{{{{（{a_n}+2）}^2}}}$=$\frac{1}{（n+2）^{2}}$＜$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用放縮法即可證明，
（3）先利用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和為T_n，不等式（-2）^n-1λ＜T_n+$\frac{n}{2^n}$-2^n-1成立，轉化為${（-2）^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$成立，分n為偶數和奇數，根據函數的性質即可求出實數λ的取值范圍

解答 解：（1）$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，當n≥2時，$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}$，
兩式相減得：$2{a_n}={a_n}^2-{a_{n-1}}^2+{a_n}-{a_{n-1}}$，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
因為數列{a_n}為正項數列，故a_n+a_n-1≠0，也即a_n-a_n-1=1，
所以數列{a_n}為以1為首項1為公差的等差數列，故通項公式為a_n=n，n∈N^*．
（2）${A_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}+…+{a_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+…+\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}$$＜（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$，
所以對任意正整數n，都有${A_n}＜\frac{1}{2}$成立．
（3）易知${b_n}=\frac{n}{2^n}$，則${T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+（n-1）×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+n×\frac{1}{2^n}$，①，
$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+…+（n-2）×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+（n-1）×\frac{1}{2^n}+n×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②可得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}-n×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$．
故${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，所以不等式${（-2）^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$成立，
若n為偶數，則$-{2^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$，所以$λ＞-2×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+{（\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）^2}+1$．
設$t=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}∈（0，\frac{1}{2}]$，則y=-2t+t²+1=（t-1）²在$（0，\frac{1}{2}]$單調遞減，
故當$t=\frac{1}{2}$時，${y_{min}}=\frac{1}{4}$，所以$λ＞\frac{1}{4}$；
若n為奇數，則${2^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$，所以$λ＜2×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-{（\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）^2}-1$．
設$t=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}∈（0，1]$，則y=2t-t²-1=-（t-1）²在（0，1]單調遞增，
故當t=1時，y_max=0，所以λ＜0．
綜上所述，λ的取值范圍λ＜0或$λ＞\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了數列的遞推公式，放縮法和裂項求和，以及錯位相減法求和，分類討論的思想，函數的思想，屬于難題．