在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinA=3bsinC，b=1，cosC=
2
3
．
（Ⅰ）求cos（2C+
π
6
）的值；
（Ⅱ）求c的值及△ABC的面積．
考點：余弦定理,三角形的面積公式,兩角和與差的余弦函數(shù)
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）由cosC的值求出sinC的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin2C與cos2C的值，把cos（2C+
π
6
）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化簡，把b=1代入求出a的值，利用余弦定理求出c的值，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．
解答： 解：（Ⅰ）∵cosC=
2
3
，
∴sinC=
1-cos2C
=
5
3
，
∴sin2C=2sinCcosC=
4
5
9
，cos2C=2cos2C-1=-
1
9
，
則cos（2C+
π
6
）=
3
2
cos2C-
1
2
sin2C=-
1
9
×
3
2
-
1
2
×
4
5
9
=-
4
5
+
3
18
；
（Ⅱ）由正弦定理及csinA=3bsinC，得ca=3bc，即a=3b=3，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=9+1-4=6，即c=
6
，
則S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×3×1×
5
3
=
5
2
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線x2=ay的準線方程是y=1，則實數(shù)a的值為（　　）
A、-4
B、4
C、
1
4
D、-
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=loga（x2-x）在[2，4]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S6＜S7，S7＞S8，則
（1）此數(shù)列的公差d＜0；
（2）S9一定小于S6；
（3）a7是各項中最大的項；
（4）S7一定是Sn中的最大值；
其中正確的是
 
（填入序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
2x-1
2x+1
是奇函數(shù)
 
．（判斷對錯）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知“命題p：?x0∈R，使得ax02+2x0+1＜0成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、[0，1）
B、（-∞，1）
C、[1，+∞）
D、（-∞，1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2sin（
π
2
-2x）是（　�。�
A、最小正周期為π奇函數(shù)
B、最小正周期
π
2
奇函數(shù)
C、最小正周期π偶函數(shù)
D、最小正周期
π
2
偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asinB=
3
b．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A是函數(shù)f（x）=
x+3
+lg（4-x）的定義域，B={x|2m-1≤x≤m+1}，B⊆A，求實數(shù)m的取值范圍．

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