Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證明線面平行，則先證明EF∥A₁O，然后利用下面平行的判定定理來(lái)得到。

（2）

【解析】

試題分析：（1）證法一：設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連結(jié)A₁O，

∵AF=AB ，O為AB的中點(diǎn)

∴F為AO的中點(diǎn)，又E為AA₁的中點(diǎn)

∴EF∥A₁O

又∵D為A₁B₁的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)

∴A₁D=OB 又A₁D∥OB

∴四邊形A₁DBO為平行四邊形

∴A₁O∥BD 又EF∥A₁O  ∴EF∥BD

又EF平面DBC₁， BD平面DBC₁  ∴EF∥平面DBC₁      （6分）

證法二：建立如圖所示的坐標(biāo)系。（坐標(biāo)系建立僅為參考）

∵AB=BC=CA=AA₁=2，D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，AF=AB

E（-1，0，1），F(xiàn)，B（1，0，0），D（0，0，2），C₁（0，）

設(shè)平面平面DBC₁的法向量為

,,

                

令z=1,則y=0,x=2           

∴    又EF平面BDC₁   ∴EF∥平面BDC₁         （6分）

（2）設(shè)面EBC₁的法向量為

，       

令x=1,則z=2，y=-     ∴

cos＜＞=

由圖知二面角E－BC₁－D為銳二面角，所以二面角的余弦值為 （12分）

考點(diǎn)：線面平行，和二面角的平面角

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了熟練的根據(jù)幾何性質(zhì)來(lái)證明平行性質(zhì)，以及運(yùn)用空間向量法求解角，屬于中檔題。