Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極小值-4，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，0），（1，0），如圖所示：
（1）求x₀的值；
（2）求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₀的值；
（2）根據(jù)圖象可得f'（-1）=0，f'（1）=0，f（-1）=-4，建立三個方程，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）由圖象可知，
在（-∞，-1）上f'（x）＜0，
在（-1，1）上f'（x）＞0，
在（1，+∞）上f'（x）＜0．
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上遞減，在（-1，1）上遞增．
因此f（x）在x=-1處取得極小值-4，所以x₀=-1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（-1）=0，f'（1）=0，f（-1）=-4，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b+c=0}\\{3a+2b+c=0}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=0，c=6．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．