Question

一根竹竿長(zhǎng)2米，豎直放在廣場(chǎng)的水平地面上，在t₁時(shí)刻測(cè)得它的影長(zhǎng)為4米，在t₂時(shí)刻的影長(zhǎng)為1米．這個(gè)廣場(chǎng)上有一個(gè)球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在t₁、t₂這兩個(gè)時(shí)刻該球形物體在地面上的兩個(gè)橢圓影子的離心率之比為

1. A.
   1：1
2. B.
   ：1
3. C.
   ：1
4. D.
   2：1

Answer 1

A
分析：在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成正比，據(jù)此列方程求得球在地面上的影子長(zhǎng)度，即橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，而橢圓的短軸長(zhǎng)即為球的半徑，從而求得橢圓影子的離心率即可解答．
解答：如圖，
AC為太陽(yáng)光線與⊙O相切，則AC=AB=m，
在t₁時(shí)刻，
設(shè)CD=x，則AD=2x，半徑為R，
在Rt△ACD中，x²+4x²=m²，解得x=m，
∴OH=BD=m-2×m，CH=m-R，
在Rt△OCH中，R²=（m-2×m）²+（m-R）²，
解得．
在t₂時(shí)刻，設(shè)球的影子長(zhǎng)為：n，同理可得：，
設(shè)在t₁、t₂這兩個(gè)時(shí)刻該球形物體在地面上的兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為為2a，2a′，短軸長(zhǎng)為2b，2b′
對(duì)于橢圓而言，即或；
而橢圓的離心率，
根據(jù)在t₁、t₂這兩個(gè)時(shí)刻該球形物體在地面上的兩個(gè)橢圓的短軸與長(zhǎng)軸的比值相等，
∴在t₁、t₂這兩個(gè)時(shí)刻該球形物體在地面上的兩個(gè)橢圓影子的離心率之比為1：1，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．