Question

下面的四個不等式：
①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；②a（1-a）≤

1

4

；③

a

b

+

b

a

≥2；④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．
其中不成立的有

 

 個．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題利用比較法和基本不等式，證明命題正確，或者舉反例說明命題不正確，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca）=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，∴命題①正確；
（2）a（1-a）-

1

4

=-a2+a-

1

4

=-（a-

1

2

）²≤0，
∴a（1-a）≤

1

4

，命題②正確；
（3）當(dāng)a=1，b=-1時，

b

a

=-1，

a

b

=-1，
∴

b

a

+

a

b

=-2＜2，∴命題③不正確；
（4）（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-2abcd-b²d²
=a²d²-2abcd+b²c²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²，
∴命題④正確．
故不成立的有1個，
故答案為：1．

點評：本題考查了比較法和基本不等式證明不等式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．