Question

20．已知一組函數(shù)f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，n∈N^*，則下列說法正確的個數(shù)是（　　）
①?n∈N^*，f_n（x）≤$\sqrt{2}$恒成立
②若f_n（x）為常數(shù)函數(shù)，則n=2
③f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，即可判斷出正誤；
②當(dāng)n=1時，f₁（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時，f₂（x）=sin²x+cos²x=1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)n≠2時，令sin²x=t∈[0，1]，則f_n（x）=${t}^{\frac{n}{2}}$+$（1-t）^{\frac{n}{2}}$=g（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤；
③利用平方關(guān)系、倍角公式可得：f₄（x）=$\frac{1}{4}cos4x$+$\frac{3}{4}$，即可判斷出其單調(diào)性．

解答 解：①∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$≤$\sqrt{2}$，因此正確；
②當(dāng)n=1時，f₁（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時，f₂（x）=sin²x+cos²x=1為常數(shù)函數(shù)，
當(dāng)n≠2時，令sin²x=t∈[0，1]，則f_n（x）=${t}^{\frac{n}{2}}$+$（1-t）^{\frac{n}{2}}$=g（t），g′（t）=$\frac{n}{2}{t}^{\frac{n-2}{2}}$-$\frac{n}{2}（1-t）^{\frac{n-2}{2}}$=$\frac{1}{2}[{t}^{\frac{n-2}{2}}-（1-t）^{\frac{n-2}{2}}]$，當(dāng)t∈$[0，\frac{1}{2}）$時，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈$（\frac{1}{2}，1]$時，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增加，因此函數(shù)f_n（x）不是常數(shù)函數(shù)，因此②正確．
③f₄（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}si{n}^{2}2x$=$1-\frac{1}{2}×\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{4}cos4x$+$\frac{3}{4}$，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x∈[0，π]，因此f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，4x∈[π，2π]，因此f₄（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，因此正確．
綜上可得：①②③都正確．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、平方公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．