已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,設(shè)bn=an+1-2an
(Ⅰ)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列{cn}滿足cn=
1
log2bn+3
(n∈N+),設(shè)Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若對一切n∈N+不等式4mTn>(n+2)cn恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
證明:(Ⅰ)由于Sn+1=4an+1,①
當n≥2時,Sn=4an-1+1.②
①-②得an+1=4an-4an-1
所an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1
因為a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故數(shù)列{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,則cn=
1
log2bn+3
=
1
n+3

∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=
1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+…+
1
(n+3)(n+4)

=
1
4
-
1
n+4

=
n
4(n+4)

由4mTn>(n+2),得
mn
n+4
n+2
n+3

即m>
(n+4)(n+2)
n(n+3)

所以m>
n2+6n+8
n2+3n

所以m>1+
3n+8
n2+3n
=1+
3
n+3
+
8
n2+3n

設(shè)f(x)=1+
3
x+3
+
8
x2+3x
,x≥1.
可知f(x)在[1,+∞)為減函數(shù),又f(1)=
15
4
,
則當n∈N時,有f(n)≤f(1).
所以∴m>
15
4

故當m>
15
4
.時,4mTn>(n+2)cn恒成立.
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