已知函數(shù)f(x)=sinωxsin(ωx+
π
6
)-
3
4
(ω>0)
,且其圖象的相鄰對稱軸間的距離為
π
4

(I) 求f(x)在區(qū)間[
11π
12
8
]
上的值域;
(II)在銳角△ABC中,若f(A-
π
8
)=
1
2
,a=1,b+c=2,求△ABC的面積.
分析:(I)利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式,根據(jù)題意求出周期,然后求ω的值,
由x的范圍[
11π
12
,
8
]
,可得4x-
π
3
∈[
10π
3
,
25π
6
]
,進而得到函數(shù)的值域;
(II)通過f(A-
π
8
)=
1
2
,求出A的值,利用余弦定理關(guān)于b+c的表達式,即可求出bc的值,進而可得△ABC的面積.
解答:解:(I)f(x)=sinωx(
3
2
sinωx+
1
2
cosωx)-
3
4

=
3
2
sin2ωx+
1
2
sinωxcosωx-
3
4

=
3
4
(1-cos2x)+
1
4
sin2ωx-
3
4

=
1
4
sin2ωx-
3
4
cos2ωx
=
1
2
sin(2ωx-
π
3
)

由條件知,T=
π
2
,又T=
,
∴ω=2,∴f(x)=
1
2
sin(4x-
π
3
)

x∈[
11π
12
,
8
]
,∴4x-
π
3
∈[
10π
3
,
25π
6
]

sin(4x-
π
3
)∈[-1,
1
2
]
,
∴f(x)的值域是[-
1
2
,
1
4
]

(II)由f(A-
π
8
)=
1
2
,得A=
π
3
,
由a=1,b+c=2及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得到a2=(b+c)2-2bc-2bccosA
故bc=1,
∴△ABC的面積S=
1
2
bcsinA=
3
4
點評:本題考查三角函數(shù)的化簡求值,解三角形的知識,二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)、余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力,注意A的大小求解,是易錯點.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時有x2∈S,給出下列四個結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對一個實數(shù)集合M,若存在實數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項組成的集合的上界(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的最大值.

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同步練習(xí)冊答案