Question

如圖，三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃和檢測(cè)臺(tái)M(M與M₁，M₂，M₃均不能重合)位于一條直線上，三臺(tái)機(jī)器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進(jìn)行檢測(cè)，送檢程序設(shè)定：當(dāng)M₁把零件送達(dá)M處時(shí)，M₂即刻自動(dòng)出發(fā)送檢，當(dāng)M₂把零件送達(dá)M處時(shí)，M₃即刻自動(dòng)出發(fā)送檢，設(shè)M₂的送檢的速度為v，且送檢速度是M₁的2倍、M₃的3倍．

(1)求三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃把各自生產(chǎn)的零件送達(dá)檢測(cè)臺(tái)M處的時(shí)間總和；

(2)現(xiàn)要求三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃送檢時(shí)間總和必須最短，清你設(shè)計(jì)出檢測(cè)臺(tái)M在該直線上的位置．

Answer 1

解：(1)由已知得檢測(cè)臺(tái)M的位置坐標(biāo)為0，則機(jī)器人材M₁，M₂，M₃與檢測(cè)臺(tái)M的趴離分別為2，1，3．又M₂的送檢的速度為v,

則M₁的送檢的速度為v，

M₃的送檢的速度為v．

故三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃按程序把各自的生產(chǎn)零件送達(dá)檢測(cè)臺(tái)M處的時(shí)間總和為

y=．

(2)設(shè)x為檢測(cè)臺(tái)M的位置坐標(biāo)，則三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃與檢測(cè)臺(tái)M的距離分別為

|x-(-2)|,|x-1|,|x-3|.

于是三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃按程序把各自的生產(chǎn)零件送達(dá)檢測(cè)臺(tái)M處的時(shí)間總和為

y=

=(2|x+2|+|x-1|+3|x-3|)．

只要求f(x)=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值.

而f(x)=由分段函數(shù)圖像得當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，有f(x)_min=12.

即送檢時(shí)間總和最短為

又檢測(cè)臺(tái)M與M₁，M₂，M₃均不能重合，故可將檢測(cè)臺(tái)M設(shè)置在直線上機(jī)器人M₂和M₃之間的任何位置（不含M₂，M₃的位置），都能使各機(jī)器人M₁，M₂，M₃的送檢時(shí)間總和最短.