Question

8．已知二次函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上的圖象如圖所示，頂點坐標(biāo)為（1，-1）．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，g（x）=f（x），畫出g（x）的圖象，并求g（x）的解析式；
（3）由圖象指出g（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)f（x）=a（x-1）²-1，由f（0）=1，可得a的值，進而得到f（x）的解析式；
（2）由奇函數(shù)的定義，可求x＜0的g（x）的解析式，進而得到g（x）的解析式和圖象；
（3）通過圖象，即可得到增區(qū)間和減區(qū)間．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=a（x-1）²-1，
∵f（0）=0，
∴a=1，
f（x）=x²-2x；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，g（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又g（x）時奇函數(shù)，
∴g（x）=-g（-x）=-x²-2x，
∴$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x（x≥0）\\-{x^2}-2x（x＜0）\end{array}\right.$；
g（x）的圖象如圖所示：
（3）遞增區(qū)間是（-∞，-1]和[1，+∞），遞減區(qū)間是[-1，1]．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．