Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，集合B={x|x²-5x+6=0}，是否存在實數(shù)a，使得集合A，B能同時滿足下列三個條件：①A≠B；②A∪B=B；③∅?（A∩B）？若存在，求出實數(shù)a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：要同時滿足①A≠B②A∪B=B③空集真包含于（A∩B）則A不可以為空集．
假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，那么A={2}或A={3}
①A={2}時
由韋達定理有2+2=a，2×2=a²-19
故a無解
②A={3}時
由韋達定理有3+3=a，3×3=a²-19
故a無解．
綜上：不存在實數(shù)a，使得集合A，B能同時滿足三個條件
分析：對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)a，使得集合A，B能同時滿足下列三個條件，再利用A不可以為空集，那么A={2}或A={3}，求出a的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點評：本小題主要考查交、并、補集的混合運算、集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．