Question

（1）在公園游園活動中有一個射擊游戲項目，某人參加該游戲，結(jié)果服從線性回歸方程

y

=

1

2

x+a，其中x表示每組射擊次數(shù)，y表示每組命中的平均環(huán)數(shù)，共射擊10組后，樣本的平均數(shù)據(jù)為

.

x

=10，

.

y

=8，求參數(shù)a．
（2）在公園游園活動另一個游戲項目：甲箱子里裝有a（a為（1）中的結(jié)果）個白球和2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
①求在1次游戲中獲獎的概率；
②求在兩次游戲中，獲獎次數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）把

.

x

=10，

.

y

=8分別代入回歸方程

y

=

1

2

x+a，能求出a=3．
（2）（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B=A₂∪A₃，由A₂、A₃互斥，能求出在1次游戲中獲獎的概率．
（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，由題意X～B（2，

7

10

），由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）∵回歸方程

y

=

1

2

x+a，其中x表示每組射擊次數(shù)，y表示每組命中的平均環(huán)數(shù)，
共射擊10組后，樣本的平均數(shù)據(jù)為

.

x

=10，

.

y

=8，
∴8=

1

2

×10+a，解得a=3．
（2）：（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），
設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B=A₂∪A₃，
又P（A₂）=

C 2 3

C 2 5

•

C 2 2

C 2 3

+

C 1 3 C 1 2

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

2

，
P（A₃）=

C 2 3

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

5

，
且A₂、A₃互斥，
所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=

1

2

+

1

5

=

7

10

．
（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．由題意X～B（2，

7

10

），
P（X=0）=（1-

7

10

）²=

9

100

，
P（X=1）=C₂¹

7

10

（1-

7

10

）=

21

50

，
P（X=2）=（

7

10

）²=

49

100

，
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	9 100	21 50	49 50

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

點評：本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．